負數包括什么？負數包括什么分數嗎

負數包括什么？為什么會出現負數？這些問題的答案可能會顛覆你的認知。今天我們就來聊聊負數的那些事兒。首先我們要明確一個概念，負數是一個數學名名詞，它的意思是一個數字的最大值與最小值之比。那么什么是負數呢？簡樸來說，負數就是一個數字的最大值與最小值之比小于1的數字。舉個個例子，你的手機號碼是1001，那么你的手機號碼就是1001×1=1001×1，這個數字就是負數。

一：負數包括什么

此問題只需了解一個概念即可豁然而解了根據個位數、十位數的概念個位數：小于10的正整數 稱為個位數多位數：不小于10的整數稱為多位數所以得出兩位數、三位數、N位數不包括負數。

二：非負數包括什么

非負整數就是正整數和零。也就是除負整數外的所有整數。非負整數集是一種特定的集合，指全體天然數的集合，包括0、1、2、3等，常用符號N示意。非負整數集是一個可列集。和非負整數集等勢的集合有：1、由天然數的有限序列組成的集合5、可數個可數集合的并集

三：什么叫做負數

負數在數學上是指小于〇的實數。與負數相對應的概念是正數，正數是大于0的實數。正數和負數都是實數。負數和〇是非正數，而正數和0就是非負數。所以，實數依據正負可以劃分為負數、0和正數三個組成部分。0既不是正實數也不是負實數。負數是一個無限集合，這個集合由無數的負數組成，因為負數具有無窮大的性質。所以，負數集合是無限集合。

四：負數包括什么分數嗎

前段工夫收到一位熱心讀者的郵件。信中提到，假如認定1-1+1-1……=1/2為現實，就會得出1+2+3+……=-1/12這樣難以令人理解的結論。這位讀者所提及的天然數求和問題，恰巧在量子理論和弦理論中都起到頗為重要的作用。從真空的能量，到時空的維度數量，都與天然數之和有著微妙的聯系。在這個小小的數學魔術里面，以至還隱含著時空不連續的秘密。

撰文 | 董唯元

數學老師曾告訴我們，只有收斂的級數才能求解無窮項之和，然而在一些科普書中，卻會碰到一個神奇的求和：

所有天然數之和怎么會是負數，而且還是個分數？這到底是人性的扭曲，還是道德的淪喪？

把對稱軸當作級數和

想要理解這個古怪的結論，我們先來看一個簡樸的例子：1, -1, 1, -1, ……這個序列可以求無窮項之和嗎？意大利數學家格蘭迪（Dom Guido Grandi，1671-1742）早在1703年就開始認真琢磨這個問題，可以說，這是所有發散級數求和研究的起點，這個序列后來就被命名為“格蘭迪級數”。

意大利數學家格蘭迪丨圖源：維基百科

也許有小同伴預測，這個序列中1和-1的數量既然同樣多，那么總和就應當等于0。可惜這樣的預測是錯誤的。無窮集就像個再生能力很強的變形蟲，部分與整體同樣多。我們從序列中拿走任意個1或者-1之后，剩下的1和-1數量仍舊相同。假如所剩下的1和-1加和為零的話，那么豈不是總的求和僅由先取出的1或-1的數量決定——也就是任意整數。這顯然太不靠譜了，看來壓根不能依賴比較1和-1的數量來求和。

還有個方法，就是借助收斂的級數尋覓線索。我們明白，在|q|<1時，

現在我們粗暴地讓q=-1，于是就出現了

這個結果好像還能令人接受，可是，q=-1究竟是個“不合法”的條件，我們需要更合理的途徑來安撫內心的不安。假如把這個級數的前n項和記做A(n)，我們現在動手來求A(∞)。

哈！根據這個等式，我們又一次得到了A(∞)=? 的結果。這回貌似沒有明顯違法的地方了，警察來了也不怕。可是，總還是感覺哪里不對。

A(1)=1

A(2)=1-1=0

A(3)=1-1+1=1

…

可以看出A(n)在1和0之間往返跳動，按照極限的定義，

這個極限不存在。當我們寫下A(∞)這個符號時，它畢竟指代什么，還沒有清晰的定義。其實這也是發散級數求和的基礎問題：如何定義發散級數的和。

相關的定義不止一種。大體來說，主要有切薩羅求和與阿貝爾求和兩類，另外拉馬努金和黎曼等人也發展出很多更一般性的理論，中間還摻有源自歐拉的諸多貢獻。那些數學語言雖嚴格，但催眠和勸退的副作用也不小，所以本文不打算糾結于那些從集合論談起的基礎定義，只運用十分“物理”的視角來定義：A(∞)示意所有A(n)的平均值。

以“平均值”定義的求和方式，使很多發散級數都可以進行求和。例如

1-2+3-4…

這個級數，也可以用同樣的辦法直接用眼睛瞪出結果。我們用B(n)示意前n項和，即

那么

B(0)=0

B(1)=1

B(2)=1-2=-1

B(3)=1-2+3=2

…

把這些B(n)所對應的點畫在圖上之后，完全不需要動筆計算，用眼睛就可以直接看出所有B(n)的平均值是1/4。

假如只看圖還不放心，我們也可以借助前面A(∞)=? 的結論來推算B(∞)：

輕微調整等式右邊的計算順序，先讓前面括號內第n項減去后面括號內第n項，然后再做加和。

即

A(∞)-B(∞)=B(∞)

所以

B(∞)=?A(∞)=?

把天然數之和變成-1/12的魔術

當然，畫出點來再用眼睛直接瞪出結果的辦法，有時分也需要一些技巧。就以全體天然數之和為例，我們同樣地令C(n)代表前n項和

麻煩出現了！顯然C(n)對應的點都分布在一根上揚的拋物線上，沒方法直接看出平均值，而且看起來壓根就不存在有限的平均值！別急，我們可以繼承變形。

這樣我們就把每個C(n)對應的點，都拆成上式中綠色項和紫色項所對應的兩個“半點”分別畫出來，居然又可以湊成兩條對稱的曲線。

當我們把無限個“半點”都辛勞畫完之后。就可以指著兩根曲線中間的對稱軸公布：

因為所有C(n)的平均值就等于所有“半點”的平均值，而兩根曲線上的“半點”分布完全對稱，只在綠色曲線的開頭位置差了一個無關緊要的0。

除了看圖猜值，我們也可以借助剛才的B(∞)=? 那個結果，再來計算一遍C(∞)。

調整順序后

于是得到

所以

其實，能夠得到 -1/12 這個結果的途徑還有很多。例如神奇的Zeta函數

這個以復數s為變量的函數，因聞名的黎曼猜想及其與數論的緊密聯系而被反復研究。數學家們可以寫出這個函數的很多種變化形式，其中一種解析延拓到全部復平面的形式是

用這個形式也可以計算出

既然經過這么多五光十色的方式，都殊途同歸到 -1/12 這個結果，我們是不是可以把 1+2+3+…=-1/12 這個式子冠冕堂皇地寫進中學課本中呢？相信很多人會跟我一樣，對此仍惶恐不安。因為在前述所有推演過程中，都埋藏著一個頗為隱蔽的問題，那就是等號的意義。將

或

直接寫成

好像天經地義，但其實兩個式子中，前面的“=”代表的是“定義為”，而不是量值相等。所以，更清晰的寫法應當是

和

這樣就能看出，-1/12 這個數值，并不像1+1=2那樣天然天成理所應該，而是需要事先假定“全體天然數之和是一個確定的數”，然后再精心選擇出一個邏輯自洽性最好的數值，指定其為全體天然數之和。只不過當邏輯自洽性和直覺發生明顯沖突的時分，我們都會感覺驚詫，這在數學發展的道路上已經不是什么新鮮事了。

伸向無窮大的剪刀

前面的討論中，我們直接無視了數學極限概念，粗暴地運用平均值當做發散級數的和。現在讓我們重新撿起極限概念，從另一個角度看看-1/12是怎么跑出來的。

對C(n) 這個發散級數，我們可以引入某個剪刀函數f(x) 來壓制那些趨向無窮大的項，從而使發散的趨勢在某個特定的位置N附近停下來，并最終收斂到某個極限S(N)。這樣我們就用標準的極限概念構造出一個S(N)，當N有限時，S(N)是個有限值，而當N趨于無窮大時，S(N)就對應著全體天然數之和。

可以充當剪刀的函數有很多，比如我們取

此時

通過數值計算，我們發現S(N)伴著N的增加而奔向正無窮。這倒是符合我們先前的直覺了，可是說好的-1/12呢？別急，我們再把S(N)用1/N張開看看。我們發現S(N)在大N的數值結果，可以被下面的張開式很好的擬合

哈！居然又看到了這個-1/12，它是S(N)張開式中的常數項。也就是說，在S(N)中與N的變化無關的成分，就是-1/12。當N充足大時，那些含1/N的項都可以忽略，S(N)可以被看做一根最低點在-1/12處的拋物線。

我們再取剪刀函數f(x)=e^（-x） 試試。此時

這個求和可以嚴格計算出來。我們先對下面的等式兩邊求β的導數

可以得到

同樣在大N條件下做1/N張開，就得到

取β=1就得到

同樣也出現了常數項-1/12，而且也是根下垂到-1/12處的拋物線

假如f(x) 直接取為跳變函數，也就是在 n=N處忽然截斷，那么

就不會有-1/12這個常數項。

看起來，除了跳變函數的忽然截斷，其他光滑的截斷方式都能得到

這個有趣的結果。這好像是告訴我們，全體天然數之和即使注定無法掙脫走向無窮大的宿命，卻出于某種奧秘的理由始終對-1/12情有獨衷。亦或可以說，

發散項只是平庸無奇的底色，而-1/12才是刻寫在底色上的性格內核。

真空的能量

站在適用的視角來說，我們有時分需要像運用收斂級數一樣處理天然數之和，所以就不得不找到某個確定的“韁繩”來駕馭。比如在研究真空能量的時分，物理學家就碰到了全體天然數之和，而且十分希望這個和是個確定的數。

在量子場論的理論模型中，真空就像一張立體彈簧網，由無數小彈簧橫縱交織而成。而所謂粒子，就是其中某些小彈簧的振動充足劇烈，甚至于遠眺望去以為彈簧網中出現了什么異物似的，但只要湊到近處就會看出，那里除了振動本身別無他物。也就是說，粒子實質上就是真空的振動。因此，當能量變化時，粒子的數量不必受任何守恒律的約束，可以憑空增加或者減少。不過，粒子能否產生或消失卻與小彈簧的振動頻率有關。在振動頻率為ω時，粒子數n與場的能量E之間存在這樣的關系：

從關系式可以看出，真空每攢夠一份?ω大小的能量，就會產生出一個粒子；反之每減少一份就會擦除一個粒子。或者干脆說，每個粒子其實就是個?ω大小的能量包。有趣的是n=0時，它對應著真空里沒有粒子的情景，此時能量是??ω。也就是說，當真空的能量低到不能再低的時分，能量仍舊不是0，這就是真空零點能。下面我們來詳細計算一個有限空間內的真空能量，看看它與全體天然數求和到底是什么關系。

將所有頻率的零點能累加起來，真空中總能量就是

瞧，天然數之和

就這樣出現了，現在你應當能夠理解，物理學家們是多么希望

是個確定數值了吧。更有意思的是，假如姑且憨憨地認為天然數之和就是-1/12的話，我們以至可以設想一個物理試驗來驗證這個結論。

如下圖這樣放置三塊相互平行的金屬板，使甲乙之間距離為a，乙丙之間距離為b。

根據剛才的結論，我們明白甲乙之間的真空能量是

乙丙之間的真空能量是

現在我們想明白，當a＜b時，中間位置的金屬板乙會受到哪個方向的力。根據能量對位置的偏導可以求解受力情景。結果發現：假如

的話，金屬板乙會受到一個向右的力；反之則受到向左的力。

其實，試驗裝置還可以進一步簡化，我們可以把最右邊的丙拿到無窮遠處，只留下甲和乙，然后測量甲乙之間是吸引還是排斥，假如相互排斥，就說明

反之則說明

這個試驗設計最早由荷蘭物理學家卡西米爾（Hendrik Casimir，1909-2000）在1948年提出，當然提出試驗的目的才不是測量天然數之和，而是為了驗證真空零點能的存在。現實上，卡西米爾當年在提出這個試驗的時分，就已經預言兩金屬板之間相互吸引，也就是對應

的情景，因為他的理論推算過程已然采用了解析延拓后的黎曼Zeta函數。1996年，華盛頓大學的Lamoreaux用試驗證明了卡西米爾效應的存在，論文發表在1997年1月的《物理評論快報》（PRL）上。

需要澄清的是，卡西米爾效應的試驗證明，只能說明真空零點能的存在，但是并不能真的用來驗證數學意義上的所有天然數之和。其實，事實中的金屬板只能阻攔有限頻率范圍內的電磁波，當頻率大過某個數值時，金屬板就無法阻攔這種極高頻率的波。所以從更精確的角度計算卡西米爾效應時，需要考慮這種高頻截斷。不過詳細計算會用到歐拉-麥克勞林公式和伯努利數這些催眠的內容，本文就不再觸及了。

下面我們轉到弦理論，看看所有天然數之和是如何與維度的數量產生關系的。

時空的緯度

前面提到，兩端固定的一根彈簧之上只能存在駐波，所有振動頻率只能是最低頻率的整數倍。對一根兩端完全自由的弦來說，結論同樣成立。兩端固定意味著端點速度為零，而兩端自由則意味著端點的加速度為零。二者之間的差別，無非就是傅里葉分解時該寫成

還是

而已。也就是說，長度為L的弦，一定有個像天然數序列一樣的離散頻率譜

另外，弦理論中的量子化方式與量子場論所運用的技術手段如出一轍，所以同樣存在

關系。這意味著能量最低的弦并不是完全靜止，而是具有

的能量，而且在每一個可以振動的維度上，都有這些能量。

假設空間維度數是d，那么一個被激發成光子的弦所具有的最低總能量就是

妥妥的又出現了

相對論告訴我們，光子的最低能量應當是零，所以跟相對論兼容的弦理論必須滿意

推演到這里，我們就要祭出

這個大招，求解出d=25，也就是空間維數必須是25維，加上工夫，總共26維時空。

在超弦理論中，由于超對稱因素的引入，弦的基態能量提升為3倍，光子能量約束條件變成了

由此求出d=9，加上一個工夫維度，總共湊成10維的時空。

以上就是玻色弦理論要求25+1維時空，以及超弦理論要求9+1維時空的故事梗概，希望讀者能借助這些實例，對天然數之和在物理中的作用設立一些具像理解。

離散的時空

為了保持話題的收斂性，前文論述中刻意略過了很多有趣的細節。例如在弦的基態振動模式中，假如存在

的成分，那么必然有

這就意味著僅在弦的一個振動模式里，就包含了無窮大的能量。同樣的，真空零點能的計算中，也會不可避免地含有能量無窮大的成分。這顯然都太不適合，我們的理論模型需要有個邊界，來防止這種在極高頻率方向“紫外災害”的發生。

之所以能產生無限大的頻率，就是因為我們答應存在無限小的波長。那么天然就會意識到，可以消退“紫外災害”的理論模型中，空間必然存在有限的最小尺度。更直白地說，就是空間不可能是連續的舞臺，而必須是離散的梅花樁。這個最小尺度畢竟是多少呢？一個自然的候選者，當然就是普朗克長度。

假如某個粒子的波長比普朗克長度還要短，那么這個粒子就會由于具備了太高的能量而把自己就地變成黑洞，而且這個黑洞所覆蓋的區域又會超出普朗克長度。于是，普朗克長度就成了現有理論中最為天然的時空基本像素。

于是，先前的

就變成了

顯然，呈正比的那部分能量，在乙板左右產生的作使勁一直相互抵消，只有第二部分呈反比的能量，才對乙板產生了作使勁。由此可見，卡西米爾效應是在兩個巨大的首項恰好相互抵消之后，在第二項上顯現出的效應，所以這種力異常微弱，只有把兩個面積達平方米量級的金屬板靠近到微米距離時，才能產生可供測量的吸引力。

現在我們才算真正解釋了卡西米爾效應與天然數之和的關系，假如未來再碰到有民科企圖用這個試驗來證實天然數之和是個負數，盡可以當機立斷地送他一個白眼。

五：復數集包括什么

本來是三次方程的求根碰到的問題，后引入復數，還有復數的向量模式，三角形式棣美弗定理等等。想要深刻的學習的話，去買本復分析看看，很快就能懂的。全體實數與全體虛數構成的集合