指數函數的反函數怎么求？指數函數與其反函數交點個數？

Differentiation本章內容梗概：本章開頭提示要解決一些新函數諸如：雙曲函數和它的反函數等的微分，微分隱函數和參數函數的技巧，另外學習麥克勞林級數去approximate一個函數with a polynomial。?隱函數微分要注意把y當成復合函數去求導就行，三個函數積的微分，仿造兩個函數要挨個去求導就行。first derivative比較容易解決，再求second derivative時切記不要使用一次求導整理的結果，在一次微分的長式面前求導就行；參數方程的一次導分別去求x,y關于t的導數即可，但二次導函數要小心，求一次導關于t的導數d(dy/dx)/dt乘以dt/dx即可。求stationary points求一次導等于0的t值， and determine their nature,還是看二次導關于t的正負即可。最后總結一下hyperbolic and inverse functions的導數公式，對于sinh和cosh，化成指數式積分就行，易得分別是cosh，sinh。而對于tanh，sechx，cosechx,通過他們與前兩個的關系，運用法則走上一波即可推出，對于正弦函數的反函數arcsinx，我們只要把它正過來，利用隱函數求導即可擺平，諸如arccosx，arctanx.都是此類辦法，時常要自己推導一下。以此類推，sinh-1x，cosh-1x,tanh-1x的推導。最后提及泰勒公式，泰勒公式的形狀分母從前0！到無窮！，分子是f（a）(x-a)power0,f'（a）(x-a)power1,…而麥克勞林是a=0的特例。所以麥克勞林可寫成是sigma fn(0)x power n/n!.知道了這些題目再難也易，不妨一試。

1、指數函數如何換成反函數？

簡單,但要先理第一,原函數用x表示y 反函數 用y表示x

第二,指數形式 轉換為對數形式要清楚

以上題為例（由于這里不能插入數學編輯器,所以只好用文字表述了）：

步驟1.y=a的x次方+b 化為 y-b=a的x次方

所以log a（y-b）=x （ 說明：a為底數,y-b為真數）

步驟2.其實x=log a（y-b）就是原函數的反函數了,但是我一般用x表示自變量,用y表示函數值 所以這一步驟還要用x代替y 用y代替x

就變成了y=log a（x-b） 這就是其反函數,注意定義域和值域互相轉換了

2、兩個指數函數相乘怎么找原函數？

沒有初等函數表達式

在某變化過程中，有兩個變量x，y，如果對于x在某個范圍內的每一個確定的值，按照某個對應法則，y都有唯一確定的值和它對應，那么y就是x的函數，x叫自變量，x的取值范圍叫做函數的定義域，和x的值對應的y的值叫做函數值，函數值的集合叫做值域．

指數函數：一般地，函數y＝ax（a＞0，且a≠1）叫做指數函數，其中x是自變量。函數的定義域是r。

對數函數是指數函數的反函數，教材是根據互為反函數的兩個函數的圖象間關于直線y=x對稱的性質。

函數y=x^a叫做冪函數，其中x是自變量，a是常數（這里我們只討論a是有理數n的情況）．

沒有初等函數表達式

指數函數a^x的原函數是a^x/lna+C(C為常數)

如果f，g都有原函數，那么f+g應當也有原函數，但是f+g沒有介值性。

所以f和g里面至少有一個沒有原函數

冪指函數的原函數不能用初等函數表示,冪級數你就慢慢推吧,尋找規律,而傅里葉級數是沒辦法確定的,因為本身在確定傅里葉系數的時候需要依靠在規定的長度內積分來求得,既然本身的積分求不出那么乘上三角函數后就更加求不出來了,至少是沒有解析解,

3、二次函數怎么求反函數？

求二次函數

的反函數解析式

在求二次函數的反函數解析式一定要注意1件事情：定義域的取值范圍。

為什么要考慮二次函數定義域的取值范圍或者說什么樣的函數才有反函數？

首先，你得明白一個函數的反函數也是函數。既然原函數和反函數都是函數，那么它們的映射就只能是many to one 或者one to one. 那究竟是哪一種呢？

假設原函數是many to one, 那么反函數是講原函數的輸入-輸出逆轉過來，那此時反函數的映射類型也要反過來的。也就是說原函數是many to one, 反函數的映射是 one to many。注意many to one 不是函數的映射類型。

[結論]: 只有在原函數是one to one 的情況下，反函數的映射也是one to one ,這樣才有反函數的存在。

其次，我們都知道二次函數如果定義域不加以限制，其映射必然是一對一（many to one） .但是，如果將的范圍限制在對稱軸的左邊或者右邊，這個時候就是一對一（one to one）,也就有反函數的存在呢！

怎樣求二次函數的反函數

二次函數是沒有反函數的。一個函數要存在反函數的話,那么它對應的映射應該是一一映射,二次函數不是一一映射。兩個不同的自變量可以對應的同一個函數數值。如果把他限制在某一個單調區間內,那它存在。

反函數的定義域確實是原函數的值域。用反函數來求原函數值域是理論上沒有問題的。 但是，你要知道，反函數存在的要求是非常苛刻的。很多函數，甚至二次函數，都沒有反函數。所以這個方法也很難行得通。 另外，一般來說，反函數和原函數的關系非常簡單明了，比如說冪函數對應冪函數，指數函數對應對數函數，三角函數（局部）對應反三角函數。這樣看來，反函數在求函數值域的推進效果上，其實并不大。我覺得化簡、作圖、求導都是更不錯的求值域方法。 題目給出的這個函數，即便不是要你求其反函數，而是其它類型的題目，你往往也要把函數化簡。一旦化簡，其實也差不多可以求出其值域，畢竟只是一個簡單分式套了一個指數函數而已。

4、如何計算指數函數的定義域和值域?函數（1）？

指數函數y=a^x 其中a>0，x屬于實數域。因此求指數函數的定義域是先考慮底數a>0，再考慮指數，使用化歸思想，找出具體題目中的指數和底數，然后考慮范圍。對于指數而言，本身并沒有什么限制，因而只需要考慮指數位置上的參數本身的定義域，常見的有分母不為零，根式里的數要大于等于0.求指數函數的值域的方法大致有：

1 反函數法—求出原函數的反函數，然后求出反函數定義域即可得到原函數的值域；

2 最值法—求出函數的最大值和最小值（要求連續）圖片上的題目可以考慮用反函數法，指數函數的反函數是對數函數，對數函數的基本要求自變量大于0，然后應用上面求定義域的方法即可求得值域。我就不解了，你自己算一下吧。

5、怎樣把指數式變成對數式？

a^y=x→y=log(a)(x) [y=log以a為底x的對數]這就是將指數轉換為對數。 指數式變成對數式的方法如下：

1、可通過指數函數或對數函數的單調性來比較兩個指數式或對數式的大小。

2、求函數y=af（x）的單調區間,應先求出f（x）的單調區間,然后根據y=au的單調性來求出函數y=af（x）的單調區間．求函數y=logaf（x）的單調區間,則應先求出f（x）的單調區間,然后根據y=logau的單調性來求出函數y=logaf（x）的單調區間.

3、根據對數的定義,可將一些對數問題轉化為指數問題來解。

指數函數個對數函數互為反函數，可以把指數函數變為對數函數的，假如指數函數解析式為y=a的x次方，變為對數函數就是x=㏒ay（這里打字有些不清楚，a是底數，y是真數）但要注意的是，指數函數的定義域變成了對數函數的值域，指數函數的值域變成了對數函數的定義域。

a^y=x→y=log(a)(x) [y=log以a為底x的對數]

指數式變成對數式的方法如下：

（1）可通過指數函數或對數函數的單調性來比較兩個指數式或對數式的大小.

（2）求函數y=af（x）的單調區間,應先求出f（x）的單調區間,然后根據y=au的單調性來求出函數y=af（x）的單調區間．求函數y=logaf（x）的單調區間,則應先求出f（x）的單調區間,然后根據y=logau的單調性來求出函數y=logaf（x）的單調區間.

（3）根據對數的定義,可將一些對數問題轉化為指數問題來解.

（4）通過換底,可將不同底數的對數問題轉化為同底的對數問題來解.

（5）指數方程的解法：（iii）對于方程f（ax）=0,可令ax=y,換元化為f（y）=0.

（6）對數方程f（logax）=0,可令logax=y化為f（y）=0.（7）對于某些特殊的指數方程或對數方程可通過作函數圖象來求其近似解.

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6、什么是反函數，冪函數，指數函數，對函數？

冪函數形如y＝x^a的函數，式中a為實常數。指數函數形如y＝a^x的函數，式中a為不等于1的正常數。對數函數指數函數的反函數，記作y＝logaax，式中a為不等于1的正常數。指數函數與對數函數之間成立關系式，logaax＝x。

是對數函數額。。。例如，f(x)=a的x次方，則反函數為f(x)=log以a為底x的對數。

7、指數函數，對數函數，冪函數的四則運算公式？

指數函數的一般形式為y=a^x(a>0且≠1) (x∈R)

. 一般地，如果a（a大于0，且a不等于1）的b次冪等于N，那么數b叫做以a為底N的對數，記作log aN=b,讀作以a為底N的對數，其中a叫做對數的底數，N叫做真數。

一般地，函數y=log(a)X，（其中a是常數，a>0且a不等于1）叫做對數函數，它實際上就是指數函數的反函數，可表示為x=a^y。因此指數函數里對于a的規定，同樣適用于對數函數。

一般地，形如y=x^a(a為常數）的函數，即以底數為自變量冪為因變量，指數為常量的函數稱為冪函數。

8、常見的反函數？

1、反正弦函數：正弦函數y=sin x在[-π/2，π/2]上的反函數，叫做反正弦函數。記作arcsinx，表示一個正弦值為x的角，該角的范圍在[-π/2，π/2]區間內。定義域[-1，1] ，值域[-π/2，π/2]。

2、反余弦函數y=cos x在[0，π]上的反函數，叫做反余弦函數。記作arccosx，表示一個余弦值為x的角，該角的范圍在[0，π]區間內。定義域[-1，1] ， 值域[0，π]

3、反正切函數：正切函數y=tan x在(-π/2，π/2)上的反函數，叫做反正切函數。記作arctanx，表示一個正切值為x的角，該角的范圍在(-π/2，π/2)區間內。定義域R，值域(-π/2，π/2)。

4、反余切函數：余切函數y=cot x在(0，π)上的反函數，叫做反余切函數。記作arccotx，表示一個余切值為x的角，該角的范圍在(0，π)區間內。定義域R，值域(0，π)。

5、反正割函數：正割函數y=sec x在[0,π/2)U(π/2,π]上的反函數，叫做反正割函數。記作arcsecx，表示一個正割值為x的角，該角的范圍在[0,π/2)U(π/2,π]區間內。定義域(-∞,-1]U[1,+∞),值域[0,π/2)U(π/2,π]。

6、反余割函數：余割函數y=csc x在[-π/2,0)U(0,π/2]上的反函數，叫做反余割函數。記作arccscx，表示一個余割值為x的角，該角的范圍在[-π/2,0)U(0,π/2]區間內。定義域(-∞,-1]U[1,+∞),值域[-π/2,0)U(0,π/2]。

一般來說，設函數y=f(x)(x∈A)的值域是C，若找得到一個函數g(y)在每一處g(y)都等于x，這樣的函數x= g(y)(y∈C)叫做函數y=f(x)(x∈A)的反函數，記作x=f(y) 。反函數x=f (y)的定義域、值域分別是函數y=f(x)的值域、定義域。最具有代表性的反函數就是對數函數與指數函數。

（1）先求原函數的值域M（2）從原函數式子中，將x用y表示 寫成x=g(y)的形式（3）寫成反函數，后面加上定義域，即原函數的值域 反函數為y=g(x) x∈M

其實求反函數，就相當于把所給的函數的解析中的x給解出來，就是表示成關于y的關系式 比如y=2x+1可解得x=(y-1)/2 然后再x與y互換位置就可以了 所以其反函數為y=(x-1)/2其定義域是原函數的值域，可知為r