“概率統計”基礎科普(7)：n重伯努利試驗

#數理工程#

之前已經介紹過，概率問題可以分為兩大類：連續型事件和離散型事件。

連續型事件又有三種常見的情景，或者叫“連續型隨機變量的三種重要的分布類型”：

1、均勻分布。比如往地上扔一個紙團，求紙團落在特定范圍內的概率。

2、正態分布。比如身高這類符合“中央極限定理”的隨機變量。

3、指數分布。比如財富這類具有“正反饋機制”的隨機變量。

在離散型事件中，最重要的概念是：n重伯努利實驗。最重要的兩種模型是：二項分布和泊松分布。

一、n重伯努利實驗

把某件事重復做n次，假如每次的結果只有兩種可能，而且每次的結果互不影響，這就叫n重伯努利實驗。

比如買彩票，結果只有中和不中兩種可能，這次中不中不會影響下次中不中，一年有n期開獎，就可以近似看成一個n重伯努利實驗。

二、二項分布

假設每次實驗勝利的概率為p，那么失利的概率q=1-p，則在n重伯努利實驗中，一共勝利了k次的概率為：

這就叫二項分布。

三、泊松分布

按照上面的公式，求二項分布概率的計算量很大。但是當n比較大（大于10），且p比較小（小于0.1），也就是說假如反復嘗試一件勝利率不高的事，那么嘗試n次之后，一共勝利了k次的概率為：

這就叫泊松分布。

泊松分布的計算量要輕微小一些，答案可以通過查“泊松分布表”或者用數學軟件來獲得。

我隨便搜了一下，雙色球的中獎率是6.71%（從頭獎到尾獎），全年開獎156期。如果你每期都買一注，一年下來“應當”中幾次獎？

這就是一個n=156，p=6.71%的n重伯努利實驗，而且近似聽從泊松分布。最可能出現的中獎次數就是泊松分布里的λ=n×p≈10.5，也就是10次或者11次。那么這種最可能的情景發生的概率有多大呢？通過數學軟件可得：≈24%。

當泊松分布中的λ比較大時（大于5），泊松分布在進行“連續性修正”之后，可以看成是一個均值和方差都為λ的正態分布。由于前者是離散型分布后者是連續型分布，所以需要進行“連續性修正”。

比如，上述雙色球的問題，也可以近似看成是在一個均值和方差均為10.5的正態分布中，看見值落在[9.5,11.5]之間的概率。

“n重伯努利實驗”這個模型在保險精算、質檢抽查等各個領域都有廣泛的應用。至此我們對概率學中最重要的幾種模型都已經有了基本的熟悉。接下來就要進入統計學的世界。

來源:雪球-半場零射門